DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Dentro de las distribuciones discretas en Estadística se tiene una de las más importantes de manera particular, ésta es la Distribución Binomial.

Cuando un investigador se interesa en conocer el número de veces que un evento dado A suceda dentro de un número determinado de eventos definidos e independientes n dentro de un experimento, suponiendo que el evento a buscar tenga una probabilidad P(A)=p al efectuar una sola prueba, entonces la probabilidad de que en dicha prueba no ocurra el evento A será de q=1-p.

Si ahora realizamos el mismo experimento n veces, entonces podemos considerar que x sea el número de veces que ocurra el evento A esperado,

x = número de veces que ocurra el evento A

de lo cual se puede observar que x puede adquirir cualquiera de los valores 0,1,2,...,n. Se quiere encontrar la probabilidad correspondiente al evento total, de tal forma que cualquiera que sea el valor adquirido por x, sea x=m, donde m=0,1,2,...,n, lo cual significa que en m de las n pruebas suceda A, esto es:

de tal forma que B=A^c,(el conjunto B es igual al complemento del conjunto A), lo que significa que A no ocurre, suponiendo que las pruebas no dependen una de otra, es decir, que son independientes entre si, por lo cual P(A)=p y P(B)=q, de donde les corresponde una probabilidad de:

de lo que se deduce que es un arreglo de mA's y de n-mB's y la probabilidad será de p^mq^n-m veces el número de arreglos diferentes de mA y n-mB , considerando que el orden de los números no es importante, entonces, se pueden tomar en cuenta de (ⁿ_m) maneras diferentes y de esto se observa que la probabilidad correspondiente será:

donde m=0,1,2,...,n

Considerando lo anterior podemos deducir que la probabilidad de que en n eventos independientes ocurra exactamente un evento A durante m ocasiones es considerada como una distribución binomial o también conocida como una Distribución de Bernoulli.

Cuando el evento A sucede, entonces se le denomina el éxito, y cuando no sucede el evento A, entonces se le conoce como el fracaso, por lo que p será el valor de la probabilidad del éxito, mientras que q será la probabilidad del fracaso.

El valor de la media de una distribución binomial es μ=np y la varianza es σ²=npq.

Se recomienda buscar en cualquier texto de Estadística las Tablas de distribución binomial.