PERMUTACIONES

La ordenación de un conjunto formado por n objetos en un orden estipulado se llama permutación.

El número de permutaciones posibles de un conjunto de n objetos considerados de r elementos a la vez se denota por:

P(n,r)

y se calcula empleando el modelo general que se muestra a continuación:

Coeficiente del binomio: el símbolo que representa el coeficiente del binomio se muestra a continuación:

el cual se lee " nCr " donde n y r son positivos enteros y r<= n y se define así:

los cuales son llamados coeficientes del binomio, pudiéndose representar de manera más compacta como se muestra a continuación:

se considera por definición que el factorial de cero es uno 0! = 1, por lo cual se tiene que:

y en particular se puede expresar así:

Si x y y son variables y n es un entero positivo, entonces se puede representar el binomio de Newton como sigue:

donde el nCr es el coeficiente de cada uno de los términos incluidos dentro de la suma agrupada del binomio durante su desarrollo.

Pascal desarrolló un método mediante el cual se puede obtener cada uno de los coeficientes de los términos del binomio de Newton, este fue elaborando un triángulo que contiene cada uno de los diferentes valores para los coeficientes dependiendo del grado del binomio. A continuación se muestra una parte del triángulo y se explica de manera breve como se continúa su desarrollo.

El triángulo anterior se le conoce como el triángulo de Pascal.

Cuando la función es (x + y) los coeficientes del desarrollo son 1 para cada uno de los términos, cada uno de esos coeficientes se coloca en la parte superior del triángulo para de esa manera poder construir el resto según sea la necesidad del usuario, cuando la función es (x + y)² entonces los coeficientes se desarrollan a partir de los coeficientes anteriores de tal manera que la construcción se pueda llevar a cabo, para construir los coeficientes del desarrollo de la función cuadrática se considera que siempre el primer elemento del desarrollo deberá contener un coeficiente 1, por lo cual se anota al inicio, el siguiente término se obtendrá de sumar los dos elementos que se tienen en el punto anterior, es decir cuando la función es de coeficiente 1 de lo cual se tiene que 1 + 1 =2, por lo cual el siguiente elemento del triángulo será de 2, el último elemento será 1 ya que es considerada la segunda variable al máximo exponente. Para la siguiente línea del triángulo se considera de igual manera el 1 inicial, el siguiente será 1 + 2 = 3,

el siguiente será 2 + 1 = 3 y finalmente el coeficiente 1 de la segunda variable, y así sucesivamente se puede generar el resto del triángulo. Se recomienda que se practique encontrando las siguientes tres líneas del triángulo.